자자 이제부터 간단한 양자론의 역사로 부터 시작해봅시다!
때는 20세기 초, 1900년 플랑크는 놀라운 가설을 도입하여 흑체복사의 실험결과를 완벽하게 해석합니다. 고전역학적 해석에서 발생하는 자외선 파탄문제와, 레일리-진스-비엔의 계산이 커버하지 못한 영역까지 단 하나의 가설로 깔끔하게 해결해버립니다. 그것은 바로 에너지 양자화.
플랑크는 에너지가 h상수의 정수배로 양자화 되어있다고 가정하여 이론과 실험의 불일치를 완벽하게 해결했으나 자기자신도 고전역학을 깊히 신봉하던 고전역학 장인이던 탓에, 모든것이 연속된 고전역학을 정면대치하는 양자가설을 탐탁치 않게 생각했지요. 실제로 논문에도 자신의 양자가설을 셀프디스하며 그저 수학적인 테크닉정도로 치부하였고 학계의 반응 또한… (셀프디스했으니 그냥 넘어가줄게) 식의 반응으로 묻혀버렸습니다.
그러나!
1905년 “빛아인”슈타인의 그 유명한 광전효과 논문으로 인해서 상황이 역변하게 되버리지요.. 광전효과는 승객 여러분들도 잘 아실테니 넘어가겠습니다. 중요한것은 이때 아인슈타인이 빛의 에너지가 양자화 되어 있다며 개념을 도입하는데, 바로 Wave-packet 즉, 빛의 웨이브 패킷 형태를 Photon(광자)라고 불렀습니다.
1911년 위대한 물리학자 어니스트 러더포드가 a-Particle 산란실험을 통해 원자의 구조를 들춰냅니다. 원자의 구조는 마치 작은 태양계처럼 원자 중심부 매우 작은 부피속에 +전하를 띈 대부분의 질량이 태양처럼 자리잡고 있고 그 주위로 전자가 공전하는 것이죠. 고전물리학자들이 매우 좋아할만한 모델이었죠. 원자핵과 그 주위궤도를 공전하는 전자라니! 뷰티풀!
1913년 물리학자 닐스 보어가 수소원자 스펙트럼을 나타내는 리드베리-발머 시리즈를 정확히 설명하는 이론을 제안합니다. 그것은 바로 에너지 양자화에 이은 각운동량의 양자화. 아주 성공적으로 리드베리 공식을 이끌어 냅니다. 같은해, 옥스포드의 헨리 모즐리가 X-ray실험을 통해서 보어의 모델이 옳다는 것을 입증까지 하지요.
여기까지 양자화의 성공을 종합해보면, 보어의 이론에 어느정도 진리가 내포되어 있다는 것을 부인 할 수가 없습니다. 그러나 물리학자들에 마음에 걸리는 2가지가 있었는데,
첫번째, 가속하는 전자는 에너지를 방출하며 원자핵속으로 순식간에 빨려들어가야 하는데 실제로는 그렇지 않다는 것이었습니다.
두번째, 태양계가 안정적인 이유는 태양의 인력에 비해 행성간의 인력이 무시할만큼 작기 때문인데 원자모델에서 전자들 사이의 척력은 정 반대입니다. 원자핵의 인력에 버금갈만큼의 척력을 서로 행사하기 때문에 원자는 결코 안정될 수가 없습니다. 고전역학적으로 전혀 타협이 안되는 상황이었죠.
1920년 물리학자들이 모여서 이것에 대해 논의합니다. 아인슈타인과 플랑크의 에너지 양자화, 보어의 각운동량 양자화…. 분명히 어느정도 성공적인 면이 있으나 고전역학과 전혀 자연스런 연결이 안되는 인위적인 양자화이므로, 문제가 생길때마다 인위적으로 무엇을 양자화 하여 문제를 해결하는 방법은 잘못되었다. 그러므로 자연스레 양자화를 도출하는 보다 근본적인 방정식을 찾아야 한다.
1924년, 드디어 엄청난 실마리가 물리학자들에게 주어집니다. 바로 전자가 빛의 광자와 마찬가지로 웨이브적 성질은 띈다는 발견이었습니다! 엄청난 발견이지요. 이때 드브로이가 박사졸업논문으로 Matter-wave라는 물질파 개념을 도입하여 아인슈타인에게 잘했어 극찬을 듣고 노벨상을 받습니다. 드디어 물리학자들은 자연의 확실한 본질을 발견하게 된 것이지요. 입자와 파동이라는 이분법적인 개념 자체가 인위적인 것이었으며, 자연은 물질파의 형태로 존재한다는 사실입니다. 드브로이의 Matter-wave의 본질과 원자의 본질을 대응하기 시작 한 것이죠.
1925년 독일출신의 젊은 천재물리학자 베르너 하이젠베르크는 보다 색다른 철학적인 접근을 시도합니다. 추상적인 원자의 본질 자체를 파헤치는것은 물리적으로 무의미하며, 물리학자들이 집중해야 할 것은 원자를 건드려 우리가 측정 할 수 있는 물리량(위치, 속도)과 그것들의 관계이다…그것을 완전히 기술 할 수 있다면, 원자를 물리적으로 정확히 기술하는 역학체계가 구축 될 것이다. 그 결과, 하이젠베르크는 오퍼레이터로 표현된 측정행위 사이의 커뮤테이트 관계를 발견하였고, 보른, 조던과 함께 “행렬역학”이라는 초창기 양자역학을 창시합니다.
같은해, 영국 케임브릿지 출신의 대학원행 폴 디락은 하이젠베르크의 강연에 참석하여 오퍼레이터의 커뮤테이트 관계식과 고전역학의 헤밀턴-푸아송 브라켓의 유사성을 발견하게 됩니다. 그리고 1926년 그 유사성에 대한 독자적인 결과를 도출하여 논문을 제출하지요.(막스 보른과 조던이 디락의 논문을 읽고, 데체 이 젊은 천재기관사는 누구인가? 라고 놀랬다고 하는군요)
그리고 드디어.. 1926년 슈뢰딩거가 자신의 이름을 딴 방정식을 발견(유도가 아닙니다)하여 논문으로 제출하고, 물리학자들의 각광을 받습니다. 당시 물리학자들 대부분은 하이젠베르크의 행렬방식을 몹시 혐오했지요… 행렬이라는 개념 자체가 몇몇 수학자들에게만 익숙했으며 물리학자들에게는 끔찍한 존재였습니다. 물리학자들은 뉴턴방정식처럼 미분방정식으로 표현된 아름다운 방정식을 원했기 때문에 슈뢰딩거 방정식은 그들의 취향을 저격했지요.
지금부터 1926년, 슈뢰딩거가 2명의 여자와 떠났던 여행을 몰래 미행하도록 합시다.
1926년, 슈뢰딩거는 아인슈타인과 드브로이의 에너지, 운동량 관계식과 양자화를 이끌어낼 방정식을 찾기위해 2명의 애인과 함께 별장으로 여행을 떠납니다.
당시 슈뢰딩거의 마음속에 있던 관계식은
절대적 진리라고 믿었던 고전역학의 관계식과
새롭게 막 등장한 아인슈타인과 드브로이의 양자론적 관계식이었죠. 이 관계식은 실험적으로 증명된 양자론적 관계식이었습니다.
이 둘을 어떻게 연결할지 고민했던 슈뢰딩거는 머리속에 바로 드브로이 웨이브를 소환해냅니다.
양자론적 관계식에서 모든 물리량은 웨이브의 변수와 관련되어 있으니, 방정식의 모델로 드브로이 파를 도입하는 것이죠. 그런데 도입하는 파동 모델로는 평면파의 Phase를 도입합니다. 다들 아시겠지만, 모든 파동은 평면파의 퓨리에 결합으로 표현 가능하기 때문이지요. 그러므로 그 선형결합 성분중에 하나를 뽑아 교보재로 삼은 것이지요. 그리고 드브로이 웨이브 엉덩이에 에너지 방망이와 모멘텀 방망이를 내려쳤더니, 드브로이 파가 자신이 범인임을 자백하며 아인슈타인과 드브로이 관계식을 뱉어내었습니다.
그러나 저 식은 역학계를 기술하지 못합니다. 포텐셜 V가 정해지면 그에따른 에너지 E가 정해지는 역학계를 기술하려 해도 V가 들어 갈 자리가 없기 때문이지요.
여기서 슈뢰딩거는 정말 기발한 아이디어를 생각해냅니다. 바로 첫번째 식의 에너지 E를 오퍼레이터로 표현하는 방법입니다.
에너지 E를 고전적으로 표현하면 아래와 같습니다.
저 E를 오퍼레이터로 표현하고 싶은 슈뢰딩거는 모멘텀 방망이를 줄빠따로 연속해 내려칩니다.
모멘텀 제곱이 나왔군요? 슈뢰딩거는 저 줄빠따를 기존의 모멘텀제곱의 자리에 끼워넣습니다. 퍼즐맞추기가 끝이 난 것이죠. 지금까지의 과정을 요약하면 아래와 같습니다.
그러나 이 방정식은 아이겐 벨류 프라블렘입니다. 슈뢰딩거 방정식을 단 한문장으로 표현는 방법으로 두 방정식의 오퍼레이터 부분만 연결하면,
슈뢰딩거는 물론 물리학자들이 정확한 방정식이라 확신했던 이유는, 바로 고전역학과의 연결성에 있습니다. 우선 슈뢰딩거 방정식은 양자역학적 고전역학적 관계식을 동시에 모두 만족합니다. 더욱 중요한 사실은, 고전역학의 방정식 F=ma에서 F 또는 포텐셜이 주어지면 역학체계가 완전히 결정되듯이, 슈뢰딩거 방정식 또한 포텐셜 V가 주어지면 역학체계가 결정되기 때문입니다♥
이제 슈뢰딩거 방정식을 풀어 봅시다. 어어억! 잠시! (끼이이이익!) 한가지 놓친게 있군요?
바로, 슈뢰딩거 방정식은 편미분 방정식의 아이겐벨류 프라블렘이다! 입니다. 위에서 E를 오퍼레이터로 봐꾸는 것을 보셨을텐데요. 오퍼레이터로 바꾸었다고 해서 실수 E로 표현된 방정식이 사라지는 것이 아닙니다. 단지 오퍼레이터로 표현된 에너지 E를 추가하여 방정식을 완성했을 뿐이지요. 그러므로, 슈뢰딩거 방정식을 기존의 방정식으로 다시 풀어헤치면
이렇게 두 부분으로 나뉘게 됩니다. 각각 아이겐 벨류 프라블렘입니다. 이미 배우셨겠지만, 아이겐벨류가 실수이면 그 오퍼레이터는 허미션 오퍼레이터라고 하지요? 그리고 그 아이겐벨류 프라블렘의 해(아이겐펑션)는 정규직교화가 가능하고 말고요! 자자 첫번째 방정식은 눈 감고도 풀겁니다.
그러므로 프사이가 변수분리 된 함수라는 것을 알게되지요. 그리고 이미 눈치채셨겠지만 이니셜 컨디션이 단! 하나밖에 필요하지 않습니다. 초기값이 정해지면 프사이의 모든것을 알게 된다는 것이지요. 그리고 두번째 방정식은,
이 방정식은 특별히 이름이 있는데… T.I.S.E (Time Independent Schro¨dinger Equation)입니다. 왜인지는 승객분들도 잘 아실것입니다. 말 그대로 해석하시면 되지요.
이 방정식은 V(r)이 주어져야만 풀이가 가능합니다.. 로렌털님은 화공과에서 열확산 방정식(Diffusion E.Q), 그리고 유체의 파동 방정식(Wave E.Q)을 보셨겠지만. 2계 편미방의 구조에 따라 이니셜 컨디션과 바운데리 컨디션이 필요하듯이 T.I.S.E도 마찬가지 입니다. 다행인건 열, 파동 방정식에서 Sorce가 추가된 방정식을 푸는 느낌과 비슷합니다. V(r)항이 바로 슈뢰딩거 방정식에서 소스텀 역할을 하죠. 저 방정식을 풀기위한 바운데리 조건은 디히힐렛 조건 또는 노이먼 조건으로 결정하면 됩니다. 물리적 모델에 따라 자연스러운 바운데리 조건을 선택하시면 됩니다.
ㅊㅊㅍㅍ!
그러나 잠깐, (끼이이이익!) 실제 포텐셜 조건을 주어 슈방을 풀기전에 슈방의 수학적인 구조 자체에 대해서 좀더 자세히 논의 해 볼까요? 푸하하하하하하하!!! 나는 장난꾸러기!
다시봐도 아름답죠? 우선 슈방은 Psi에 대한 완벽한 선형 미분방정식이기 때문에 슈퍼포지션 원리에 따라 해의 선형결합이 가능합니다. 그리고 2계 편미방이니 시간에 관련된 이니셜 컨디션 하나와 공간에 관련된 바운데리 컨디션 2개와 V가 정해져야만 풀이가 가능하죠. 그리고 더욱 중요한것은 구조의 대칭성(Symmetry)인데요, 이후에 보게 되겠지만, 만약에 V가 대칭적으로 주어진다면 오퍼레이터 자체를 Ladder연산자 방식으로 변환해서 해를 구하는것도 가능하답니다.
더 중요한 것은, 슈뢰딩거 방정식의 해는 반드시 Complex Field안에서 서식하는 복소해라는 점입니다! 맙소사! 이게 사실 좀 충격적인데요, 전자기학을 배우면서 전자기파를 복소수로 “표현”하는 것을 배우셨겠죠, 아니면 회로이론에서 복소임피던스 같이 복소수를 사용하여 물리해를 표현하는 방법이요. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 “표현”이 아닌, 본질적인 복수함수입니다. 즉, 우리가 해를 구해도 그 해를 다이렉트하게 어떤 물리량에 대응시키는게 불가능하다는 의미에요. 왜냐면 물리량은 전부 실수이기 때문이지요. 그렇기 때문에 웨이브 펑션은 어떤 후처리를 거쳐야만 물리적인 의미를 가지게 됩니다. 이 부분은 이후에 막스 보른의 해석을 통해 알게 되실 것입니다. 바로 제곱!
그리고 반드시 슈방의 해는 물리현상을 기술해야 하기때문에 연속해야 하지요. 막 끊어지고 그러면 열차가 탈선하여 끔살이 일어날수도 있습니다.
그리고 다시 말하지만 슈방은 유도된것이 아니라 발견된 것입니다. 어떤 본질적인 슈방을 유도해낼 방법은 참고서적을 찾아도 못본거 같군요.. 그러나 슈방이 옳다는 증거는 자연 그 자체에 있습니다. 화학이든 원자구조든 반도체든 어디든지 슈방은 옳습니다. 슈뢰딩거…당신은 도덕책!
마지막으로 슈방은 비상대론적 방정식이라… 포톤은 슈방으로 기술하지 못합니다. 그러나 상대론적 양자역학 버전인 디락 방정식으로 대체되니 이후에 그곳까지 여행하도록 합시다. 약속~ 꾹!
자, 이제 가장 간단한 예를 들어서 슈방을 풀어봅시다! (무한장벽 포텐셜)
이때 장벽 외부로는 결코 파동이 존재 할 수가 없으니, 바운데리 컨디션은 자연스럽게 정해지구요
장벽 내에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다.
눈 감고도 풀만한 방정식이죠? 사실 포텐셜이 가장 간단한 경우라 풀기 쉽지… 나중에 가면 끔살
방정식을 풀면 다음과 같은 해들이 나옵니다. 그런데 처음 바운데리 벨류 기억하시죠? 조건을 적용하면 가능한 조건은,
그러므로,
즉, 에너지 아이겐벨류 En은 보시는 것과 같이 양자화 되어 있다는 결론에 이르게 됩니다. 이미 눈치들 채셨겠지만, 아이겐벨류에 해당되는 아이겐펑션(해)도 있겠죠? 그 해들을 전부 선형결합한 해가 바로 슈뢰딩거 방정식의 전채 해가 됩니다. 그리고 더 중요한 사실은, 아이겐펑션들은 전부 정규직교화가 가능하니… 처음부터 아이겐펑션을 정규직교하게 잡으면 더욱 편리합니다.
페어웰
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