'~싶고요' 가 맞습니다.
'나도 아이스크림 먹을래!' 라는 문장에서 '나'에 연결된

보조사 '-도'가 보통 '-두'로 발음되는 경향이 있습니다.
[나두 아이스크림 머글래] 처럼!
[과제를 미리미리 하자구요]
[나두 먹구 싶다]
등의 예에서 보면 원래 'ㅗ'인 것을 'ㅜ'로 발음하는 경향이 있고요,

그렇게 발음을 하다보니 결국 철자법에도 영향을 주어서 'ㅗ'를

'ㅜ'로 적는 것이 더 자연스럽게 느껴지는 것입니다.
이런 현상을 보통 '비어두 음절'의 'ㅗ'가 'ㅜ'로 바뀌는

'고모음화'라고 합니다.

이것은 예전부터 있던 음운변화의 한 양상인데요!
'호두'가 원래 '호도' 였습니다. '자두'도 '자도' 였구요!

19세기 후반에 이런 '고모음화'현상이
이미 있었고, '호두, 자두' 등은 이미 표준어로 등재되었습니다.
이 현상이 아직도 살아 있어서, 위와 같은 예들이 나오고 있는 거지요!
16세기 비어두 음절의 '아래아'가 '으'로 바뀌는 현상과 19세기

비어두 음절의 'ㅗ'가 'ㅜ'로 바뀌는 현상이 결국 현대국어에서

모음조화를 깨뜨리는 결정적인 역할을 했습니다.
결론은 '~고요'가 원래 맞는 겁니다.