Y^2=4-X^2 을 오른쪽에 넣고 그 값을 k로 두고 판별식 쓰고 x범위 내에서 값이랑 비교해보면 될듯요

그래프 그려서 풀면 되겠네요

이런 함수문제 헷갈릴땐 좌표평면위에 그래프그려보시면 직관적으로보여요

x^2+y^2=4에서 y^2= -x^2+4 로 x^2을 이항시킨 후, 그 값을 y^2 -2x에 대입하면 -x^2 -2x +4가 나옵니다. 이 녀석의 최대 최솟값을 구하는데, 조건으로 (-2≤x≤2, -2≤y≤2)의 범위 (x 범위만 쓰면 되죠.)에서
-x^2 -2x +4 의 최대 최소값을 구하면, x= -1에서 최댓값 5를 갖고, x=2에서 최솟값 -4를 갖습니다. 그러므로 최대최솟값의 차는 9입니다.

윗분 말대로 그래프를 그릴 경우, 원과 포물선을 그리신 후, k값에 따라서 포물선의 꼭짓점이 달라집니다. 이 때 k값에 따른 몇개의 그래프를 그려볼 경우 직관적으로 2사분면에서 한 번 만나는 경우(물론, 3사분면의 같은 x좌표에서 만납니다.)가 원과 포물선이 만날 때 k값이 가장 크고, 꼭짓점이 x=2에서 원의 끝에서 한 번 만날 경우 k값이 가장 작게 된다는 것을 알 수 있습니다. 이 때 2사분면의 한 점에서 한 개의 근(중근)을 갖게하는 k 값을 구하면 k=5, x=2에서 접하게 하는 k값을 구하면 k=-4임을 알 수 있습니다.

따라서 이 방법을 통해 구한 값 역시 최대는 5, 최소는 -4 이므로 답은 9입니다.