글 처음 올라올 때 문제를 적어놓아서... 답변을 간단히 해 드리면..

급수의 수렴역은 항비검사으로 구할 수 있을 것 같은데...
급수의 제 n항으로 제 n+1항을 나누고 그것에 절댓값을 취하고 그 값을 1보다 작게 만드는 x값을 찾으시면 될 것 같네요...
(n→∞일 때 급수의 n항이 S(n)이면 lim(n→∞) ㅣS(n+1)/S(n)ㅣ<1이 되게 하는 x 말입니다.)
그렇게 하시면 각각의 답을 찾으실 수 있을 겁니다...
답은..첫번째는 -1<x<1, 두번째와 세번째는 모든 실수, 네번째는 4<x<6, 다섯번째는 -1<x<1/3, 여섯번째가 -1/2<x<7/2인 것 같습니다.
(확실하진 않아요...지금 어떤게 어떤건지 적어두지는 않아서요..)

급수의 수렴 판별은...기본적으로는 급수가 0으로 수렴할지 아닐지를 따져봅니다.
0이 아닌 수로 수렴하거나 발산하면 급수는 발산, 아니면 검사를 더 해야하죠 ㅋㅋㅋㅋ
첫번째는 급수의 항이 0이 아닌 수로 수렴하니까 발산,
두번째는 수렴합니다. 각 항을 분리해서 항비검사 쓰시면 될 것 같고요...
세번째는 적분판정법을 쓰시면 수렴하는 것을 찾으실 수 있을 겁니다.
(1/(1+x^2) 적분하면 tan^-1(x)가 나오죠....)
네번째는 n이 급수의 항들과 관련이 있는지 잘 모르겠어서 잘 모르겠네요.
다섯번째는 역시 항비검사 쓰시면 될 것 같습니다.
여섯번째는 수렴할 것 같은데 왜 수렴하는지는 저도 잘 모르겠습니다...이건 좀 복잡한 것 같네요.

(2)번에 각각의 급수가 수렴한다는 건가요? 아니면 급수의 각 항을 이루는 수열이 수렴한다는 건가요??