수학문제 도와주세요!!...

1

미분?

몇년만에 보는 수학이지..

그래프 그려보면 답이 나오ᆢ나?

최댓값 6
최솟값 3분의 2

아니면 죄송

저 상태로 미분하려면 계산이좀 복잡해지니까
2 + -4x/x^2+x+1로 고쳐서 도함수를 구하면될것같네요
x가 실수인 범위에서 분모가 0이 되는 경우는 없으니까
도함수 부호따져서 증가감소 극대극소 구하면 될 것 같아요

로피탈 ㄱㄱ

어느 단원 문제인지 확실히 모르겠으나, 고1 산술-기하 평균부등식 활용 문제일 가능성이 있어 보이므로 저는 미분을 쓰지 않는 풀이를 제시해 드리겠습니다.
y=-4x/(x^2+x+1)+2인데 x^2+x+1이 항상 양수이므로 x가 양수인 경우 y<2이고, x가 음수인 경우 y>2입니다. 이로부터 y의 최댓값을 구하기 위해서는 x<0인 범위만 조사하면 충분하고, y의 최솟값을 구하기 위해서는 x>0인 범위만 조사하면 충분함을 알 수 있습니다.
x>0인 경우, x+1/x는 2 이상이며 등호가 x=1일 때 성립한다는 사실로부터, y=-4/(x+1+(1/x))+2는 x=1일 때 최솟값 m=2/3을 가짐을 알 수 있습니다.
비슷한 방법으로 x<0인 경우, -x>0이므로 -x-1/x는 2 이상이며 등호가 -x=1일 때 성립한다는 사실로부터 y=4/(-x-1-(1/x))+2는 x=-1일 때 최댓값 M=6을 가짐을 알 수 있습니다.

어느 단원 문제인지 확실히 모르겠으나, 고1 산술-기하 평균부등식 활용 문제일 가능성이 있어 보이므로 저는 미분을 쓰지 않는 풀이를 제시해 드리겠습니다.
y=-4x/(x^2+x+1)+2인데 x^2+x+1이 항상 양수이므로 x가 양수인 경우 y<2이고, x가 음수인 경우 y>2입니다. 이로부터 y의 최댓값을 구하기 위해서는 x<0인 범위만 조사하면 충분하고, y의 최솟값을 구하기 위해서는 x>0인 범위만 조사하면 충분함을 알 수 있습니다.
x>0인 경우, x+1/x는 2 이상이며 등호가 x=1일 때 성립한다는 사실로부터, y=-4/(x+1+(1/x))+2는 x=1일 때 최솟값 m=2/3을 가짐을 알 수 있습니다.
비슷한 방법으로 x<0인 경우, -x>0이므로 -x-1/x는 2 이상이며 등호가 -x=1일 때 성립한다는 사실로부터 y=4/(-x-1-(1/x))+2는 x=-1일 때 최댓값 M=6을 가짐을 알 수 있습니다.