that they need ~ database 이 the item을 수식하고있는 목적격관계대명사구로써 원래 they need to be searching the item in a database. 라는 문장이었겠죠. 여기서 need to 는 ~해야한다 정도로 ought to, should와 비슷한 의미로 준조동사역할이기 때문에 뒤에는 동사원형형태로 be searching이 쓰였네요. 해석하자면 그들이 찾아야하는

Need라는 동사의 목적어가 명사가 와도 되지만 ~하는 것이 필요하다 라고 하게 될때는 명사적용법으로 사용되는 to 가 붙는 거라고 생각되네요 예를 들면 너는 공부를 열심히할 필요가 있어 you need to study hard. 이 문장이 같은 용법으로 사용된거라고 보시면 되겠네요

Why don't you install some computers / inside the store / so that customers can easily locate the item / that they need to be searching / in a database?
그들이 데이터베이스에서 찾기를 필요로하는(원하는)

고객들이 자신들이 필요한정보를 쉽게 찾을수있는데, 그게 데이터베이스 안에서 찾기'때문에' 그렇다고 봐야겠네요. 보통 to부정사를 ~하기 위해서로 많이 해석하는데 그게 가장 자연스러울대가 많은데 사실 그냥 and정도로 봐도 괜찮아요(부정사가 두문장을 이으려고 사용한 것이니) ~하기위해서의 의미를 꼭 부여하고싶었다면 in order to같은걸 썼겠죠

가게안에 컴퓨터 몇대를 설치하는게 어떻겠냐 , (고객들이 데이터베이스에서 찾기를 필요로하는) 아이템의 위치를 쉽게 찾을수있도록

데이터베이스에서 찾아야할 아이템을~~~
need to ~해야한다

search 바로 붙이기 어색한것도 있고 좀 더 강조하려고 be searching으로 늘려쓴것 같아요