![20141225_150549_818.jpg : 수학 한문제만 가르쳐주세요ㅎ 20141225_150549_818.jpg : 수학 한문제만 가르쳐주세요ㅎ](/files/attach/images/123/732/546/006/e4913759623ceab131a469a74864ca01.jpg)
8번문제 좀 알려주세요ㅜㅜ
극한값은 그냥 a_n+1 이랑 a_n 이랑같다고 놓구 풀면 ㆍ된다는건알겟는데 수렴하는지는 어케밝혀야할까요?? 입실론 델타법이나 단조수열정리로 증명혹시가능하신분잇으세요??
1. a_1=√3인 a_n이 단조증가수열임을 수학적 귀납법으로 보입니다.
a_1=√3, p(n): a_(n+1) > a_n이라고 할 때
i) p(1)은 참입니다. (∵ sqrt(3+√3) > sqrt(3) )
ii) p(n)을 가정하면 p(n+1)은 참입니다.
p(n): a_(n+1) > a_n
⇔ a_(n+1) > a_(n+1)² - 3
p(n+1): a_(n+2) > a_(n+1)
⇔ sqrt[a_(n+1) + 3] > a_(n+1)
⇔ a_(n+1) > a_(n+1)² - 3 (∵ a_(n+1) > 0)
⇔ p(n)
∴ p(n) ⇒ p(n+1)
따라서 a_n은 단조증가수열입니다.
2. 마찬가지 방식으로 a_n < l (l = sqrt[3+l])임을 수학적 귀납법으로 보입니다.
더 깔끔한 풀이가 있을 것 같지만... orz
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