미분적분 문제풀이 마무리가 안되요

살벌한 호두나무2013.03.26 13:53조회 수 1678댓글 4

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기계과 미분적분학 연습문제 1.2. 10번
리미트 a^(1/n) =1, (a>1일때)
를 보이라고해서 단조수열정리에 따라 수렴성은 증명했는데
하한 값이 1이라 극한값이 1임을 보이지 못하고 있어 고민하고 있습니다 ㅜ 공동연구실에서 뒷자리에 앉아 루트 a를 1+tn 으로 두고 조임정리 하는 것 같은데 제대로 다 적지 못해서 이해를 못하겠네요
아시는 분 간단히라도 설명 부탁드려요ㅜ
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  • 추운 금강아지풀
    2013.3.26 14:02
    댓글 추천 1 비추천 0
    단조 수열정리가 뭔지는 기억이 안나지만 고등학생이 푼다면
    1/n=t로 두고 lim(t=0) a^t 이고 지수함수는 모든 실수범위에서 연속이니까 lim a^t = a^0 = 1 이런식으론 안되나요?
  • 의연한 황벽나무
    2013.3.26 14:12
    댓글 추천 1 비추천 0
    주어진 수열은a^n 분의 1이므로 a^n이 1로가는걸 보일 수 있습니다. 이 때 a^n 이 1로수렴함을 보이기 위해 a=1+h, h>0 이라 두고 그러면 a^n=(1+h)^n 이므로 우변을 이항정리로 전개합니다.
    여기서 h에 대해 좀더 자세히 쓰는게 낫겠네요. h^n 은 0으로수렴한다는걸 미리 보여야 합니다. 즉 적당한 자연수 k가 존재해서 k보다 큰 모든 자연수 n에 대해 h^n-0 의 절댓값은 입실론보다 작아진다(즉 수렴한다)고ㅇ했을 때
    위에 이항정리로 정리한 우변은ㄷ싹다 0으로수렴하니 다 사라지고 한개 항,1만 남게됩니다. 따라서 처음에 분모로뒀던 a^n 은 1로 수렴, a^n분의일 은 1로 수렴합니다.
  • @의연한 황벽나무
    글쓴이글쓴이
    2013.3.28 10:47
    댓글 추천 0 비추천 0
    a^(1/n) 즉 n루트 안에 a가 들어가 있는 건데 1/a^n 로 보신 것 같은데 맞나요 +_+?;
  • 글쓴이글쓴이
    2013.3.26 14:39
    댓글 추천 0 비추천 0

    싸늘한 // 단조수"열"이 아니라 단조수"렴"인데 제가 잘못썼네요^^; 단조수렴정리는 단조 수열이고 유계면 그 수열이 수렴한다는 정리에요. 답글 감사합니다!
    초라한 // 답글 달아주셔서 감사합니다^^ 교수님이 알려주신 조임정리로 푸는 방식이 아니라 알려주신 방법을 이해하려면 좀 써보고 연구해야겠네요! 대단히 감사합니다.

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